Les mathématiciens connaissent deux types d'infini. L'infini potentiel consiste à dire qu'un marcheur peut toujours faire un pas supplémentaire, ou que si l'on a compté jusqu'à un nombre n, on peut toujours continuer jusqu'à n+1. L'infini actuel, lui, consiste à considérer qu'un segment de droite est en fait un ensemble infini de points, ou que l'intervalle [0, 1] est un ensemble infini de nombres réels. L'infini potentiel parle donc d'infini « de principe » qui n'a pas d'existence concrète, alors que l'infini actuel prétend que des quantités infinies existent réellement.
La question reste ouverte de savoir si l'infini existe dans notre monde physique, ou bien s'il n'a de réalité que dans l'esprit des mathématiciens. Par exemple, le temps ou l'espace sont-ils infiniment divisibles ? On pense, par exemple, au paradoxe de Zénon, selon lequel un coureur (Achille) ne peut en rattraper un autre plus lent (la tortue), car il doit d'abord parcourir la moitié de la distance qui les sépare. Pendant ce temps, la tortue a progressé un tout petit peu, et Achille doit toujours parcourir la moitié de la distance qui les sépare, etc.
G. J. Chaitin expose dans un article intéressant quelques arguments mathématiques et physiques contre la continuité, donc contre l'existence d'une infinité indénombrable de nombres réels. Il s'agit d'un exposé court et clair sur un le sujet, qui donne envie d'aller fouiller dans ses références. En particulier, il m'a donné envie de finir la lecture du livre de Wolfram, A New Kind of Science, malgré son autosatisfaction énervante.
À lire aussi sur le sujet, le numéro de décembre 2000 de Pour la Science, consacré aux Infinis.